Diagonalen til en sekskant

Kva er diagonalen på en 6-kant på 15m2

Jeg antar du mener regulære 6-kanter. I slike sekskanter er alle sider og vinkler like store. Det er kun for slike trekanter en kan lage generelle regler.

Vi ser at hvis vi tegner inn alle diagonalene i en regulær 6-kant, får vi seks likesidede trekanter.

Vi ser også at diagonalene er dobbelt så lang som sidene i trekantene.

Arealet av en sekskant er 6 da ganger arealet av den likesidede trekanten.

Vi kan dermed finne lengden av sidekantene fra arealet av den likesidede trekant. Vi kan deretter finne diagonalen ved å gange lengden på sidekanten med to.

Vi vet at arealet av hele sekskanten er 15m², og arealet av hver av de likesidede trekantene er dermed:

 $\frac{15m^2}{6}=2,5m^2$ 

Vi vet videre at arealet av en likesidet trekant er$\frac{grunnlinje\cdot høyde}{2}$

Grunnlinja i denne trekanten er sidekanten i sekskanten. Vi kaller lengden av sidekanten for x.

Hvis vi tegner inn høyden i en av de likesidede trekantene, ser vi at denne deler trekanten i to like trekanter, hver med en 30^o vinkel, en 60^o vinkel og en 90^o vinkel.

Når vi har rettvinklede trekanter (altså en trekant der en av vinklene er 90^o), kan vi benytte de trigonometriske identitetene sinus, cosinus og tangens, for å finne sidekanter i trekanten.

Hvis vi tar utgangspunkt i en 60^o vinkel (A på figuren), vil den motstående kateten fra denne være høyden, h, i trekanten (lengden DC på figuren). Hypotenusen vil være en sidekant i den likesidede trekant (AC på figuren). Vi kaller lengden av sidekanten for x.

Definisjonen på sinus er:

 $\sin v=\frac{motståendekatet}{hypotenus}$ 

Vi setter inn for tall og symboler, og får:

 $\sin 60=\frac{h}{x}$ 

Omformet som ett uttryk for h, har vi:

 $h=x\sin 60$ 

Ved å sette inn for grunnlinje = x, og høyde = xsin 60, kan vi da skrive et uttrykk for arealet av den likesidete trekant. Arealet vet vi skulle være 2,5m², og vi kan da skrive:

Arealet av likesidet trekant =$\frac{grunnlinje\cdot høyde}{2}$

=>$2,5m^2=\frac{x\cdot x\sin 60}{2}$ 

Vi trekker sammen høyre side:

 $2,5m^2=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$ 

Vi deler på$\frac{\sqrt{3}}{4}$ på begge sider:

 $\frac{10\sqrt{3}}{3}{m}^2=x^2$ 

Eller:

 $x^2=5,77m^2$ 

Tar vi roten på begge sider, får vi da:

 $x=2,4m$ 

Som vil være lengden på sidekantene.

Diagonalen er da to ganger denne lengden.

Vi finner at diagonalen er 4,8 m.