Bonaventura Francesco Cavalieri

Bonaventura Cavalieri ble født i Milano og ble jesuat (ikke jesuitt). Han studerte under Galilei og ble matematikkprofessor i Bologna i 1629. Han skrev om optikk og astronomi og var medansvarlig for innføringen av logaritmene i Italia. Hans største bidrag til matematikken var nok boka "Geometria indivisibilibus" fra 1635. Her blir Cavalieris prinsipp introdusert. Riktignok finnes det forløpere som Demokrit (419 f. Kr.) og Arkimedes (ca. 287–212 f. Kr.), men sannsynligvis var det Keplers forsøk på å beregne visse arealer og volumer som inspirerte Cavalieri mest.

Selve begrepet "indivisibiles" (de udelelige) er uklart og tåkete. Muligens kan en forklare en "indivisibilis" av et romlegeme med en plan snittflate av figuren. Cavalieri tenker seg nå selve romlegemet som bestående av eller bygget opp av uendelig mange "indivisibiles". Ideen er nå den at om man lar et plan gli langs en akse gjennom to legemer der snittflaten i det ene legemet alltid er like stor som snittflaten i det andre, så må også volumene til figurene stemme overens. Skal man være korrekt med kildene, så var formuleringen av Cavalieris prinsipp litt mer generell i hans versjon. Han skriver (oversatt fra H. Eves, An Introduction to the History of Mathematics):

Hvis to romlegemer er inneklemt mellom to parallelle plan, og hvis arealene av de to snittflatene som kommer fram ved å skjære legemene over med et plan som er parallelt med de to førstnevnte, alltid står i et fast forhold, så vil også volumene til romlegemene stå i dette forholdet.

Cavalieri utviklet også et prinsipp for flater, altså todimensjonale figurer. Her tenker han seg et flatestykke bygget opp av uendelig mange "indivisibiles" som vi må forestille oss som korder i figuren. Om disse skriver han:

Hvis to flatestykker er inneklemt mellom to parallelle linjer, og hvis lengdene av de to "kordene" som blir skåret ut av en linje som er parallell med de to førstnevnte, alltid står i et fast forhold, så vil også arealet av figurene stå i dette forholdet.

Tidligere matematikere hadde brukt en metode som heter "uttømmingsmetoden" (exhaustion) for å bestemme volumet av romlegemer med krumme begrensningsflater eller arealet av flatestykker med krumme begrensninger. Uttømmingsmetoden går ut på å legge en enkel figur der man kjenner volumet inn i romlegemet slik at den fylles opp noenlunde. Deretter legger man en kjent figur inn i restlegemet osv., slik at man uttømmer figuren steg for steg.

Metoden med ”indivisibiles” er noe helt annet. Her tenker man seg at romlegemet består av mange uendelig tynne snittflater og at deres areal til sammen utgjør figurens volum.