Eksponentiallikninger

$x=\ln 5$

Løsningsforslag:

$e^x=5$
$\ln \left(e^x\right)=\ln 5$
$x\ln e=\ln 5$
$x=\ln 5$.

$x=\lg 3$

Løsningsforslag:

${10}^x=3$
$\lg \left({10}^x\right)=\lg 3$
$x\lg 10=\lg 3$
$x=\lg 3$.

$x=\frac{\ln \left(5\right)-5}{3}$

Løsningsforslag:

$e^{3x+5}=5$
$\ln \left(e^{3x+5}\right)=\ln 5$
$\mathrm{(}3x+5\mathrm{)}\ln e=\ln 5$
$3x+5=\ln 5$
$x=\frac{\ln \left(5\right)-5}{3}$.

$x=-7$

Løsningsforslag:

$e^{-(x+4)}=e^3$
$\ln (e^{-(x+4)}\mathrm{)}=\ln (e^3)$
$-(x+4)=3$
$x=-7$

Her kunne vi også observert at eneste forskjell mellom venstre og høyre side av likningen $e^{-(x+4)}=e^3$ er eksponentene. Derfor må vi ha $-(x+4)=3$, som også gir at $x=-7$.

$x=\ln 2$

Løsningsforslag:

$e^{2x}+{3e}^x-10=0$
$(e^x{)}^2+{3e}^x-10=0$
$e^x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot (-10)}}{2\cdot 1}=\frac{-3\pm 7}{2}$

$e^x$ er et positivt tall for alle verdier av $x$, mens $\frac{-3-7}{2}$ er et negativt tall. Derfor er det bare en løsning: $e^x=\frac{-3+7}{2}=2$

$\ln \left(e^x\right)=\ln 2$
$x=\ln 2$.

$x=\ln 2$

Løsningsforslag:

$e^x-2e^{-x}-1=0$
$(e^x{)}^2-e^x-2=0$ (her har vi multiplisert med $e^x$)
$e^x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\frac{1\pm 3}{2}$

$e^x$ er et positivt tall for alle verdier av $x$, mens $\frac{1-3}{2}$ er et negativt tall. Derfor er det bare en løsning: $e^x=\frac{1+3}{2}=2$

$\ln \left(e^x\right)=\ln 2$
$x=\ln 2$.

$e={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$

Det finnes mange måter å definere $e$.

Tallet $e$ kan defineres som en uendelig rekke:
$e={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}$.

Tallet $e$ kan defineres som det unike tallet $x>0$ slik at
$\ln x={\int }_1^x\frac{1}{t}dt=1$.

Her kan du finne flere representasjoner av $e$.

$\ln \left(e^x\right)=x$

hvis $x>0$ er $e^{\ln x}=x$

Den naturlige logaritmefunksjonen er den inverse til eksponentialfunksjonen.