Målestokk

Om vi skal tegne et kart, er det viktig at forholdet mellom avstanden på kartet og avstanden i virkeligheten er den samme på kartet. Når vi tegner et kart, forminsker vi størrelsene. Om vi heller skal lage en stor statue av en person, er det også viktig at størrelsesforholdet er det samme på hele statuen. I dette tilfellet forstørrer vi.

Vi gir nå en presis definisjon av

. En målestokk er simpelthen en skrevet med divisjonstegn i stedet for en brøkstrek, $a:b$. Dette betyr at $a$ måleenheter på modellen vi lager tilsvarer $b$ måleenheter i virkeligheten. Dette blir enklere om vi ser på konkrete eksempler. Tenk på hvilke eksempler viser forminsking og hvilke viser forstørring.

 

Avstand til nærmeste vann

Du har nettopp kommet til hytta. Hytta har ikke verken innlagt vann, wifi eller dekning. Du må derfor til nærmeste elv for å hente vann. På bordet står det et kart med målestokk $1:50000$. Du måler med linjal at det er $10 \mathrm{cm}$ på kartet fra hytta til nærmeste elv. Siden målestokken er $1:50 000$, betyr det at $1 \mathrm{cm}$ på kartet er $50 000 \mathrm{cm}$ i virkeligheten. Vi vet at det er $100 \mathrm{cm}$ i en meter, så det betyr at $1 \mathrm{cm}$ på kartet er $50 000:100=500$ meter i virkeligheten. Det vil si at $10 \mathrm{cm}$ på kartet er $500\cdot 10=5 000$ meter i virkeligheten. Siden det er $1000$ meter i en kilometer, er det  $5 \mathrm{km}$ fra hytta til nærmeste elv. La oss håpe du finner en bekk på veien!

 

Plantegning

Du vil tegne en tegning av rommet ditt. Rommet ditt er $3 \mathrm{m} \times 4 \mathrm{m}$ stort. Vi bruker en målestokk på $1:25$, og vi lurer på hvor stor tegningen blir.

Rommet er $3 \mathrm{m} \times 4 \mathrm{m}$, og er derfor formet som du ser på figuren til venstre. Siden målestokken er på $1:25$, betyr dette at $1$ meter på kartet er $25$ meter i virkeligheten. Vi merker at meter blir altfor stort å jobbe med, så vi jobber heller med centimeter: $1$ centimeter på kartet er $25$ centimeter i virkeligheten.

Vi vet at det er $100$ centimeter i en meter, dermed vil $4$ centimeter på kartet være $4\cdot 25=100$ centimeter på kartet, altså $1$ meter. $1$ meter i rommet vil da svare til $4$ centimeter på kartet. Siden rommet er $3 \mathrm{m} \times 4 \mathrm{m}$ stort, vil kartet ha en størrelse på $12 \mathrm{cm} \times 16 \mathrm{cm}$, siden $3\cdot 4=12$ og $4\cdot 4=16$. Da kommer kartet ditt til å være formet slik:

Merk at rommet og kartet har samme form, men ulik størrelse!

 

Lag en statue

Vi skal lage en statue av en kjent person, og vi vil at statuen skal være $16,5$ meter høy. Vi vet at personen er $1,65$ meter høy, og lurer på hvilken målestokk vi skal bruke.

Siden personen i virkeligheten er $1,65$ meter høy, og statuen er $16,5$ meter høy, kan vi bruke dette til å si at $16,5$ meter på statuen tilsvarer $1,65$ meter i virkeligheten. Da får vi en målestokk på $16,5:1,65$. Når vi jobber med målestokk er det vanlig at det minste tallet er $1$. Da kan vi dividere begge sider på $1,65$ for å få $10:1$. Altså statuen er 10 ganger så stor som kjendisen er.

 

Er plantegningen riktig?

Et klasserom er $7 \mathrm{m} \times 8 \mathrm{m}$ stort:

En medelev tegner et kart av klasserommet på $10 \mathrm{cm} \times 10 \mathrm{cm}$ og spør deg om han har gjort det rett.

Vi merker at dette umulig kan være riktig. På den ene siden vil $10 \mathrm{cm}$ på kartet svare til $7 \mathrm{m}$ i virkeligheten. Da $10 \mathrm{cm}=0,1 \mathrm{m}$, gir dette en målestokk på $0,1:7$, og multipliserer vi begger sider med $10$ får vi $1:70$. På den andre siden må $10 \mathrm{cm}$ på kartet også svare til $8 \mathrm{m}$. Dette gir en målestokk på $1:80$. Dermed kan ikke eleven ha brukt samme målestokk på hele kartet.

Dette kan vi også se geometrisk. Klasserommet er formet som et rektangel, mens kartet er formet som et kvadrat. Forholdet mellom bredde og lengde er ikke det samme! Da kan eleven umulig ha brukt samme målestokk på hele kartet.

 

Mer detaljert turkart

Vi planlegger en tur i Børgefjellet nasjonalpark. Vi vurderer om vi skal gå rundt Namsvatnet på sørsiden eller nordsiden? Vi ønsker å unngå myr (hvite områder med parallelle blå streker over).

Vi har et kart med målestokk $1:50000$, og det er tilsynelatende ingen myr på norsiden av vannet. For at vi skal være sikre på dette, ønsker vi et utdrag av kartet som kun viser halvparten av området det originale kartet viser.

Vi ønsker altså å forstørre området. Da vil $2 \mathrm{cm}$ på det nye kartet svare til $1 \mathrm{cm}$ på det gamle. Vi kan dividere med to og si at $1 \mathrm{cm}$ på det nye kartet svarer til $0,5 \mathrm{cm}$ på det gamle. Det gir oss en målestokk på $1:25000$.

 

To turkart

Fremme ved tavlen i klasserommet ditt er det et kjempestort kart. Det står at målestokken er $1:10000$. I geografitimen deler læreren ut kopier av det samme kartet. Du regner ut at kopien din er ti ganger mindre. Hvor stor er målestokken på kartet du har i hendene?

$10 \mathrm{cm}$ på det store kartet svarer til $1cm$ på kartet ditt. Siden $10 \mathrm{cm}$ på det store kartet er $10 \mathrm{cm}\cdot 10000=100000 \mathrm{cm}$, har det lille kartet ditt målestokk $1:100000$.