Deriverbarhet

Men når er det denne grensen ikke finnes? I denne seksjonen skal vi se på når den deriverte finnes, og vise noen eksempler.

Eksempel 1 – en funksjon som er deriverbar på hele tallinja.

La oss se på $f\left(x\right)=x^2$ i et punkt tilfeldig punkt $a$:

$f\text{'}\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)+f\left(a\right)}{h}$

 $=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(a+h\right)}^2-a^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2ah+h^2}{h}$

 $=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2ah}{h}+\frac{h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }2a+h=2a$

Vi ser at grensen finnes, og dermed er funksjonen deriverbar i $a$. Siden $a$ kan være hvilket tall som helst, er $f\left(x\right)$ deriverbar for alle $a$.

Eksempel 2 – en funksjon med et ikke-deriverbart punkt:

I eksempelet under ser vi en funksjon med en «knekk». Hva skjer med den deriverte i dette punktet? Vi husker at den deriverte er lik stigningstallet på tangenten til kurven. I dette tilfellet ser vi at vi får vanskeligheter med å avgjøre hva tangenten er i punktet $a$, vi får rett og slett forskjellige tangenter avhengig av hvilken side vi kommer fra.

La oss se hva som skjer med funksjonen:

$f\left(x\right)= \left\{\begin{array}{cc}{x}^2+x& \mathrm{for} x<1\\ x+1& \mathrm{for} x\ge 1\end{array}\right.$

Hvis vi deriverer hver av sidene, ser vi at vi får at den deriverte er $\left[x^2+x\right]\text{'}=2x+1$ for $x$ mindre enn 1, og $\left[x+1\right]\text{'}=1$ når $x$ er større enn 1, men hva skjer i 1?

Vi ser på definisjonen av den deriverte og ser hva som skjer hvis vi tar grensen ovenfra og nedenfra, altså at vi lar h gå mot null henholdsvis fra minussiden og plussiden. Husk definisjonen av den deriverte i et punkt $a$: $f\text{'}\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$

Fra plussiden:

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left(1+h+1\right)-\left(1+1\right)}{h}=1$

Vi ser at det her er $x+1$ som kommer i spill fordi $1+h$ er større enn 1.

Fra minussiden:

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{{\left(1+h\right)}^2+\left(1+h\right)-1^2-1}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{2h+h^2+h}{h}=3$

Vi ser at her kommer $x^2+x$ i spill fordi $1+h$ er mindre enn 1 ($h$ er negativ.)

Som vi så på illustrasjonen får vi to forskjellige deriverte avhengig av hvilken side vi ser på. Da sier vi at grensen

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}$

ikke eksisterer, og funksjonen er ikke deriverbar.

Eksempel 3 – en funksjon med et ikke-deriverbart punkt:

Under ser vi et eksempel på en funksjon $f\left(x\right)$ som har et diskontinuerlig punkt; et punkt der den ikke henger sammen. Vi ser at i $x=1$ gjør den et hopp. Å finne stigningen i $x=1$, gir ikke mening, og vi vet at $f\left(x\right)$ ikke er deriverbar i 1.