Formlikhet og kongruens

To figurer er formlike dersom de har nøyaktig samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse.

I to formlike figurer er forholdet mellom to samsvarende lengder konstant.

Eksempel 1.

Vi skal bruke en pinne, et målebånd og sola til å måle høyden på et stort tårn.

Vi har en pinne med høyde $h_1$, som vi plasser loddrett. Så måler vi lengdene $l_1$ og $l_2$ av skyggene som pinnen og tårnet kaster på bakken. La oss si vi fikk $l_2=30 \mathrm{cm}$, $h_1=120 \mathrm{cm}$ og $l_2=15 \mathrm{m}$.

Vi ser at vi har to formlike trekanter, og da er forholdet mellom de samsvarende sidene likt:

$\frac{h_2}{h_1}=\frac{l_2}{l_1}$      

Vi multipliserer med $h_1$ på begge sider av likhetstegnet og får

$h_2=\frac{l_2\cdot h_1}{l_1}=\frac{15\cdot 1,2}{0,3} \mathrm{m}=60 \mathrm{m}$

Så ved å måle lengden av en pinne og to skygger kan vi regne ut høyden til et $60$ meter høyt tårn!

For å bruke formlikhet, må vi selvsagt forsikre oss om at figurene virkelig er formlike. For to trekanter er det tilstrekkelig å vise at to av vinklene er parvis like store. Siden vinkelsummen i en trekant alltid er $180^o$, må da også den tredje vinkelen være den samme i begge trekantene, og trekantene må ha samme form.

Eksempel 2.

På figuren ser vi tre trekanter: $\mathrm{\Delta }ABC$, $\mathrm{\Delta }ADC$ og $\mathrm{\Delta }DBC$. Disse trekantene er formlike når vi forutsetter at $\angle ACB=90^o$ og at $CD$ er en normal ned på $AB$.

$\mathrm{\Delta }ABC$ er formlik med $\mathrm{\Delta }ADC$, fordi $\angle A$ er felles og $\angle ACB=\angle ADC={90}^o$. Da er $\angle ABC=\angle ACD$, og trekantene formlike.

På samme måte finner vi at $\mathrm{\Delta }ABC$ er formlik med $\mathrm{\Delta }DBC$, fordi $\angle B$ er felles og $\angle ACB=\angle CDB={90}^o$.

Siden både $\mathrm{\Delta }ADC$ og $\mathrm{\Delta }DBC$ er formlike med $\mathrm{\Delta }ABC$, må også $\mathrm{\Delta }ADC$ og $\mathrm{\Delta }DBC$ være formlike med hverandre.

Av dette kan vi trekke ut at forholdet mellom $AD$ og $DC$ er likt forholdet mellom $CD$ og $DB$, altså

$\frac{AD}{DC}=\frac{DC}{DB}$

Dette gir oss at $AD\cdot DB=DC\cdot DC$.

Dette betyr at i et rektangel med sidelengder $AD$ og $DB$, er arealet til rektanglet like stort som arealet til kvadratet med sidelengder $DC$, når $C$ er fremkommet som på figuren foran. Lengden $DC$ kalles mellomproporsjonalen mellom de to andre lengdene.

Generelt for tall:
Hvis tre tall $a$, $b$ og $c$ er slik at $a\cdot b=c^2$, kalles $c$ mellomproporsjonalen mellom $a$ og $b$.

Kongruens

Hvis vi har to formlike figurer som også er like store, sier vi at figurene er kongruente. Kongruente figurer dekker hverandre helt.

For trekanter kan vi sette opp kriterier som garanterer kongruens. Det betyr at to trekanter er kongruente dersom ett av disse kravene er oppfylt:

    1. Sidene i de to trekantene er parvis like lange.
    2. To sider og den mellomliggende vinkelen er like store.
    3. To vinkler og den mellomliggende siden er parvis like store.

Dette betyr også at hvis ett av kriteriene er oppfylt, kan trekanten konstrueres på én måte. Den er med andre ord entydig bestemt.