Primtall og faktorisering

Primtallene er byggesteiner for alle naturlige tall. Når vi skal finne fellesnevneren til store brøkuttrykke eller forkorte brøker, bruker vi primtallsfaktorisering.

Hva er primtall?

Vi sier at et tall er delelig med et annet tall dersom kvotienten, det første tallet delt på det andre, er et helt tall. For eksempel er 12 delelig med 3, siden kvotienten er 4. 12 er derimot ikke delelig med 8, siden kvotienten er 1,5.

Fordi tallet 1 ikke er definert som primtall, er 2 det minste primtallet. Tallet 2 er også det eneste partallet som er et primtall. Alle andre partall er jo delelige med 2.

Primtallene mellom 1 og 20 er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Et av de viktigste og mest grunnleggende resultatene i matematikk kalles

Å skrive et tall som et produkt av primtall kalles å primtallsfaktorisere. Et tall kan primtallsfaktoriseres på bare én eneste måte, sett bort fra at rekkefølgen på faktorene kan variere. Etter å ha primtallsfaktorisert et tall, vet vi med sikkerhet at dette ikke kan gjøres på noen annen måte.

Eksempel 1.

12 er et partall og derfor delelig med 2. Tallet 2 er et primtall: $12=2\cdot 6$.
6 også er et partall. Så vi faktoriserer igjen: $12=2\cdot 6=2\cdot 2\cdot 3=2^2\cdot 3$
Her er alle faktorene primtall. Da er vi er ferdige og har funnet den eneste mulige primtallsfaktoriseringen.

 

Eksempel 2.

Tallet 17 er ikke delelig med noe mindre tall, utenom med 1. Sjekk det! Derfor er 17 et primtall.

Eksempel 3

$84:2=42$
Dermed er $84=2\cdot 42$.

Vi undersøker tallet 84. Dette er et partall og derfor delelig med 2: 

42 er også et partall. Vi dividerer med 2 igjen og får at

$42=2\cdot 21$

Da kan vi skrive

$84=2\cdot 2\cdot 21=2^2\cdot 21$.  
21 er produktet av 3 og 7 og derfor heller ikke et primtall. Men både 3 og 7 primtall, og den endelige primfaktoriseringen av 84 er

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$. En praktisk oppstilling ved primtallsfaktorisering ser du på bildet.

Primtallsfaktorisering og brøk

Eksempel 4.

Forkort brøken $\frac{39}{9}$.

Vi begynner med å primfaktorisere telleren og nevneren:

$39=3\cdot 13$ 
$9=3\cdot 3$ 
         
Brøken kan vi skrive som $\frac{39}{9}=\frac{3\cdot 13}{3\cdot 3}$.
 
Både i telleren og nevneren har vi tallet 3 og derfor kan vi fortkorte. Vi får

$\frac{39}{9}=\frac{3\cdot 13}{3\cdot 3}=\frac{13}{3}$.
  
Telleren og nevneren har ikke lenger noen felles faktorer, og brøken kan ikke forkortes ytterligere.

Eksempel 5

Regn ut $\frac{1}{18}+\frac{1}{42}\mathrm{.}$ 

For å legge sammen to brøker, finner vi først fellesnevneren. En måte å gjøre dette på er å multiplisere de to nevnere, men da får vi et stort tall og det er fort gjort at vi under utregningen gjør feil. Så la oss se primtallsfaktorisere hver nevner:

$18=2\cdot 3\cdot 3$ 
$42=2\cdot 3\cdot 7$ 
Vi ser at 2 og 3 er fellesfaktorene for nevnere. Fellesnevneren er produktet av fellesfaktorene og resterende faktorer slik at fellesnevneren er lik

 $2\cdot 3\cdot 3\cdot 7=126$.

Nå kan vi legge sammen brøkene:

 $\frac{1}{18}+\frac{1}{42}=\frac{1\cdot 7}{18\cdot 7}+\frac{1\cdot 3}{42\cdot 3}=\frac{7+3}{126}=\frac{10}{126}$ 

Både telleren og nevneren i svaret er partall og derfor delelig med 2, så vi kan forkorte brøken:

 $\frac{10}{126}=\frac{5\cdot 2}{63\cdot 2}=\frac{5}{63}$ 

Dette er det endelige svaret da brøken ikke kan fortkortes mer.