Parenteser og faktorisering

Eksempel med tall og parenteser

Regn ut $5(3+2)$.

Vi kan gjøre dette regnestykket på to måter.

1. Vi regner ut uttrykket i parentesen og deretter multipliserer med 5:

 $5(3+2)=5\cdot 5=25$ 

2. Vi løser opp parentesen og trekker sammen:

 $5(3+2)=5\cdot 3+5\cdot 2=15+10=25$ 

Eksempel med bokstaver og parenteser

Regn ut $a(b+c)$.

Vi ser at fremgangsmåten 1. i eksemplet med tall kan vi ikke bruke da vi ikke kan trekke sammen $b+c$. Men fremgangsmåten 2 fungerer på tilsvarende måte som for tall:

$a(b+c)=a\cdot b+a\cdot c=\hspace{0.17em}ab+ac$ 

Nå er vi ferdige da vi ikke kan trekke uttrykket mer sammen. Svaret er bokstavuttrykket $ab+ac$.  Når vi regner med bokstaver og paranteser, gjelder de samme reglene som for tall.

Flere eksempler med bokstaver

•  $b(ab+c)=a{b}^2+bc$ 
•  $z(x-y)=zx-zy$ 
•  $a(b+6)=ab+6a$
• $a(b+2a+2b)=a(2a+3b)=a\cdot 2a+a\cdot 3b=2a^2+3ab$

I det siste eksemplet la vi først sammen de to like leddene med b og så løste vi opp parentesen. Men hvorfor fikk vi lov å trekke sammen ledd med like bokstaver? For å forklare dette må vi først repetere hva det betyr å faktorisere.

Faktorisering

Når vi gjør om $ab+ac$ til $a(b+c)$, kalles det å faktorisere. Dette er ett og samme uttrykk skrevet på to ulike måter.

 $\hspace{0.17em}ab+ac=a(b+c)$ 

Hva har vi egentlig gjort? Jo, vi ser om leddene $ab$ og $ac$ har noe felles. Vi ser at i begge ledd finner vi bokstaven a. Bokstaven a kalles en fellesfaktor (det er faktor siden den multipliserer de andre to bokstavene og så er den felles). Etter at vi fant en fellesfaktor, kan vi trekke a utenfor parentesen. Da har vi faktorisert uttrykket vi begynte med. 

Eksempler på faktorisering

•  $ab+ac=a(b+c)$
•  $c{d}^2+ca=c(d^2+a)$ 
•  $xy-xy{z}^2=xy(1-z^2)$ 
•  $ab-a^2{b}^2+b{a}^2=ab(1-ab+a)$ 
•  $2a+4b=2(a+2b)$ 

Er du usikker på om du har faktorisert riktig, så kan du enkelt selv sjekke dette. Regn ut uttrykket med parentesen og svaret skal være uttrykket du begynte med.

Faktorisering bruker vi ofte når vi forkorter brøker. For mer om dette, se lynkurset Brøk.

Eksempel - hvofor er $2a$ og $-b$ lik $b$ ?

Nå kan vi forklare hvorfor uttrykkene i parentesen i regnestykket under er like.

 $a(2b+3a-b)=a(3a+b)=3a^2+ab$ 
Her ser vi at $2b$ og $-b$ ble til $b$. Dette gjorde vi ved å bruke faktorisering på en smart måte!

La oss se nøye kun på uttryket i parentesen:

 $2b+3a-b=$
Først skriver vi alle ledd med samme bokstav etter hverandre.

 $2b-b+3a=2\cdot b-1\cdot b+3a=$ 

Fellesfaktoren trekkes ut og skrives foran parentesen.

 $b(2-1)+3a=$ 

Nå ser vi at i parentesen har vi to vanlige tall som vi kan regne ut.

 $b\cdot 1+3a=b+3a$ 

Vi står igjen med b multiplisert med 1 som er det samme som $b$. 

Multiplikasjon av to parenteser

Fremgangmåter vi så i det første eksempelet med tall gjelder også når vi har flere parenteser. Vi kan enten

• først trekke sammen ledd i parentesen og deretter løse opp parentesen
  eller
• først løse opp parentesen og deretter trekke leddene sammen.

Når vi regner med bokstaver, som vi så i det andre eksempet, må vi alltid først løse opp parentesen og deretter trekke leddene sammen. Denne regelen er gjeldende også i bostavuttrykk med flere parenteser.

Eksempler

a) $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
b) $(a+b)(b+c)=ab+ac+b^2+bc$
c) $(a-b)(b+c)=ab+ac-b^2-bc$
d) $(a+2)(a+3)=a^2+3a+2a+6=a^2+5a+6$ 

Legg merke til at vi kan skrive uttrykket i b) på enda en måte (trekk ut fellesfaktorer):
$(a+b)(b+c)=a(b+c)+b(b+c)$