Likningssystemer

Et likningssystem eller likningssett er et sett av to (eller flere) likninger med to (eller flere) ukjente. Hvordan ser en likning med to ukjente ut? Hva betyr det? Må vi ha to likninger når vi har to ukjente?

Én likning med to ukjente

Du husker førstegradslikninger, ikke sant? La oss se på likningen $2x+1=0.$ Løsningen av likningen er $x=-0,5$. Denne verdien av $x$ gjør at venstresiden er lik 0. Men hvilke andre verdier enn 0 kan $2x+1$ gi oss? Vi introduserer en variabel til, ofte kalt $y$ og setter $y=2x+1$. Likningen $2x+1=0$ er kun ett tilfelle av $y=2x+1$, nemlig når vi setter $y=0$ .

 Nå har vi en likning med to ukjente, $x$ og $y$.

Like mange likninger som ukjente

Hvis vi har to ukjente og skal finne én unik løsningen, må vi ha to likninger som vi kaller for et likningssystem eller likningssett. Hvis vi har en likning med to ukjente, finner vi uendelig mange tallpar som passer i likningen. Disse tallparene at danner en rett linje i koordinatsystemet. Hvis vi har to likninger med de samme to ukjente, kan vi finne ett tallpar med en verdi for $x$ og en verdi for $y$ som passer i begge likningene i likningssettet. Finner vi en slik løsning sier vi at den er entydig.

For eksempel vil ikke $y=3x+45$ ha entydig løsning. For eksempel passer alle følgende tallpar$(0,45),(1,48),(2,51)$ og mange flere i likningen. Vi ser at for hver $x$ vi velger, får vi en ny $y$-verdi.

Eksempel 1.

Her er eksempel på et likningssett med to likninger og to ukjente:

 $\begin{array}{c}y=6x+120\text{ (1)}\\ y=3x+150\text{ (2)}\end{array}$ 

Tallene i parentes er en nummerering av likningene som er til hjelp når likningssettet skal løses.

Begge likningene er lineære siden de ukjente, $x$ og $y$, bare er i første potens. Vi sier at vi har et lineært system med to ukjente.



Eksempel 2.

Vi kan også ha likninger med flere ukjente og med andre bokstaver:

Eksempel 3.

Dina og Lars betaler tilsammen 2000 kr for to konsertbilletter. Lars kjøper en VIP-billett som koster dobbelt så mye som Dinas ordinære billett. Hvor mye koster hver av billettene?

Vi skal finne ut hvor mye hver av billettene koster. Fordi billetten til Lars er dobbelt så dyr som Dinas, kaller vi billettprisen til Lars for $L$ og Dinas for $D$. Tilsammen koster billettene 2000 kr. Nå kan vi oversette informasjonen til to likninger:

(1) Tilsammen koster billettene 2000 kr.

 $L+D=2000$ 

(2) Billetten til Lars koster dobbelt så mye som Dinas.

 $L=2\cdot D$ 

Er du enig i at likningssystemet beskriver problemet vårt riktig?

For å løse et likningssett bruker vi en av disse metodene: 

I) Substitusjonsmetoden (innsettingsmetoden).
II) Grafisk løsning.
III) Eliminasjonsmetoden.
IIII) Prøve- og feile-metoden.

Hver løsningsmetode er en artikkel i lynkurset.